簡単な計算をするプログラム

これからUPするプログラムはすべて、DOS Prompt で実行するものです（解凍後）。GUI の利用はありません。時間がありましたら実行してみてください。（ソースはすべて自作品です）

●まず最初は、地球上の２点間の最短距離を計算するプログラムです。ただしこれは、地球が完全な「回転楕円体」であるとして計算します。２点の位置情報（緯度、経度）を入力するとあとは電脳が計算してくれるようにしました。位置情報はたとえば「Google Earth」などで高精度のものが得られます。（赤道半径=6378.140km、極半径=6356.755km）
"完全な球体"としたときに比べ、プログラムが面倒な割には結果の数値はあまり変わりません・・・当然かな？

距離の計算

●次はランニングに使える表を作ります。似たようなものですが２つ用意しました。「秒数から」は、100m進むのに要する秒数をプログラム名の次に入力すると画面いっぱいに表ができます。また、「時速から」は、時速をkm/hで入力します。いずれも入力値は小数第一位までで、常識的な数値を入力するようにしています。もちろん出力先をテキストファイルにリダイレクトすることもできます。
例　>marathon1 28 （画像参照）

秒数から

時速から

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●私が多桁計算のプログラムを作ろうと思ったのはもちろん、かなり以前から「円周率 (pi)」に強い興味があったからでした。この魅力ある数を可能な限り正確に計算してみようとずっと考えていて、電脳機器をそろえた２０００年頃から数年間をかけて一応の成果を得たのですが、その手始めとして作った、「ルート２」の値を計算するプログラムを UP します（正確には得た値を２倍したものがルート２です）。ニュートン法（２次収束）利用で、多桁数同士の積には FFT (Fast Fourier Transform : 複素数版) を使ったオリジナル・プログラムです。これは DOS Prompt で

>sqrt2r 22 s.bin

などと入力すると求める値 0.70710678... が小数点以下 2^22=4,194,304 桁まで正確に計算できるものです（最後の s.bin は保存ファイル名で省略可）。ファイルの保存形式は、十進８桁づつを int型データ（32bits、4Bytes）に収め実行時の配列をそのままバイナリー・ファイルに格納しています。従って上記のファイル s.bin の大きさは次のようになります。

4194304/8 * 4 = 2,097,152Bytes = 2MB

0.70710678...

これを少し古いIBM Think Pad(1.4GHz,1GBmem)にて実行したときの時間は次のとおりでした（2^25=33,554,432のとき、memは1GBほど必要になります）。

2.203s(20), 4.237s(21), 10.535s(22), 22.092s(23), 46.077s(24), 95.417s(25)

●その「円周率 (pi)」ですが、最も簡単な公式（Machinの公式、逆正接の級数展開）を利用して計算するプログラムを UP します。これは、たくさんの分数を小数になおして加えていくものですが、手計算と同じことを電脳にさせています（少し工夫をしてはいますが）。これは有効桁数を２倍にするには４倍の手間がかかります。
私は昔、この公式を使って手計算を実行したことがありますが、わずか５０桁ほどで諦めた記憶があります。また、１９世紀半ばに William Shanks という人がこの公式を使って pi を小数点以下７０７桁まで計算した記録が残っています（百年後に電脳による"ごく短時間の"検証で正値は５２７桁までであることが分かりました・・・そのパワーを「電脳発明」に傾けた方がよかったのかな？）。
なおこの数は無理数の中でも一段と高度な「超越数」であることが証明されています。
DOS prompt で >machin3 20 (2^20=1,048,576 桁) としたとき計算に１時間以上を要します。計算機がいかに速く処理できるとはいえ、桁数を倍にするのに「４倍の手間」というのは致命的です。

pi = ３．１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６２６４３３８３２７９５０２８８４１９７１６９３９９３７５１０・・・

（産医師異国に向かう産後厄なく産婦みやしろに虫散々闇に鳴く・・・）

円周率１

これを上記IBM Think Padにて実行したときの時間は次のようになりました（これは末尾誤差なしです）。

21.93s(16), 87.65s(17), 350.59s(18)、5657.05s(20)

上記の「４倍」を２．３倍ほどで実行できるプログラムを次に UP します。これは「Borwein の公式」という少し複雑な漸化式を使っています。繰り返しの計算回数は少ない（４次収束）のですが、複雑な式ゆえ計算時間はかかります。漸化式利用の場合は必要な桁数を初めから"引っ張って"計算するため、FFT の利用は欠かせません（プログラムは 2^25 桁までの計算、末尾誤差あり）。

>bor3 20 pi.bin

と入力すると、pi を 2^20=1,048,576 桁まで計算し、pi.bin という名で保存します。

円周率２

円周率計算の説明

　このプログラムを一部改造して、pi の値を 2^27=134,217,728 桁まで計算し、確認した結果のうちの「はじめの１億桁」について数字の出現状況を調べてみました。
０から９までの数字がほぼ"平等"に出現しているのが分かります！。

数字		出現数
０	---	9,999,922
１	---	10,002,475
２	---	10,001,092
３	---	9,998,442
４	---	10,003,863
５	---	9,993,478
６	---	9,999,417
７	---	9,999,610
８	---	10,002,180
９	---	9,999,521

●「素数」の個数を計算するプログラムです。２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３、２９，３１、３７，４１、４３、・・・と不規則に出現し、また限りなく続く素数が、ある自然数 N までにいくつあるかを計算します。あわせて最後の４個も表示します。上記同様 DOS prompt で、

>sieveh 10000

などと入力します。N が「１億」のとき、約100MB の mem が必要です。
なお、x が大きいとき１から x までに含まれる素数の個数を y とするとおよそ次の式が成り立ちます。

y=x/(ln(x)-1)

素　数

N までの素数の個数 P(N) と上式の値を表にしますと次のようになります。

N		P(N)	x/(ln(x)-1)	ratio
１０＾３	---	168	169.3	1.00755
１０＾４	---	1,229	1,218.0	0.99103
１０＾５	---	9,592	9,512.1	0.99167
１０＾６	---	78,498	78,030.4	0.99404
１０＾７	---	664,579	661,459.0	0.99531
１０＾８	---	5,761,455	5,740,303.8	0.99633
１０＾９	---	50,847,534	50,701,542.4	0.99713
１０＾１０	---	455,052,512	454,011,971.3	0.99771

●「調和級数」
調和級数の和を計算するプログラムです。S(ｎ)＝１＋１/２＋１/３＋１/４＋・・・＋1/ｎはｎの増加に伴い、ゆるやかです（対数的増加）がいくらでも大きくなります。この級数の和をあるｎまでで切って求めます。有効桁数を６３桁としました。

調和級数

この和が初めて１９および２０を超えるのは次に示すとおりです。また、ずっとずっと先のｎについて ９９＜S(１０＾４３）＜１００ が成り立ち、和が１００に達するには気の遠くなるほど（まったく人間的尺度ではありません！）多くの項数が必要です。

S(100,210,581)=19.00000 00097 33298 61541...、　S(272,400,600)=20.00000 00016 17442 18955...

さらに、調和級数の各項を２乗した級数の和は pi^2/6、４乗した級数の和は pi^4/90、６乗した級数の和は pi^6/945、８乗した級数の和は pi^8/9450、１０乗した級数の和は pi^10/93555、１２乗した級数の和は pi^12×691/638512875、１４乗した級数の和は pi^14×2/18243225、１６乗した級数の和は pi^16×3617/325641566250、１８乗した級数の和は pi^18×43867/38979295480125、・・・などと計算されますが、各項を奇数乗した級数の和、例えば１＋１/２＾３＋１/３＾３＋１/４＾３＋１/５＾３＋・・・はどんな種類の数なのかさえわかっていません。少々それました・・・それにしても「自然数」に pi が出てくるとはまことに不思議ですね。

●三次方程式の解
実数を係数とする三次方程式を解く（近似値を求める）プログラムです。三次関数のグラフからわかりますが、実数係数の三次方程式は少なくとも一つの実数解があります。さらに広い見地からは、「複素数を係数とするｎ次の代数方程式はちょうどｎ個の解を複素数の範囲に持つ」ことが証明されています（代数学の基本定理）。

三次方程式を解く

★ファイルの先頭部分を見る
保存したデータファイルの先頭部分を表示させるにはこのプログラムを使います。一つの配列に８桁が格納されています。

データ表示

>readintb2 64(配列数) pi.bin(ファイル名)

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（恐縮ですが計算ソフトを運用し、万一不利益を被っても責任を負いかねます（虫が住み着いている可能性もあります）。予めご了承ください。）
（ご意見、ご感想をどうぞ。）