満ち欠けと運動

 ●満ち欠けの起こる理由

 

 

(この図は解りやすくする為強調して表現しています。

   また、太陽光を無視し月の見え方で表現しています。)

 月の満ち欠けは(左図)のように、地球から見たときの月の位置により見え方が変わります。

 月を地球から観測すると、周期的に月への太陽光のあたり方が変わって見える、いわゆる満ち欠けという現象が起こります。満ち欠けの周期は、約29.5日ですから、約14.7日周期で新月と満月を繰り返します。

  

 新月(朔=さく)とは、太陽が真後ろから照らすため、その姿が観察できない月の形態のこと。難しく言えば、太陽の黄経と月の黄経が一致、すなわち差が0°になること。違う言い方をすれ ば、月が太陽と地球の間に入り、位相角が180°となることによって、輝面比(月の表面のうち、どの程度輝いているか、すなわち照らされているかを表す比率)が0になる月のことです。

  

 満月(望=ぼう)は、黄経差が180°、月と太陽に地球が挟まれた形をとった形、位相角は0°となり、輝面比は1になる。輝面比だけでなく、明るさについても、満月の時が最大で−12.6等となる。月の反射能は0.07程度ですので、93%の光は月に吸収されてしまいます。

  

尚、地球の軌道速度は毎秒30km程に対し、月の地球に対する速度は毎秒約1kmである。

※ このコーナーは「けいさんしつコーナー」を参照してください。

 

●白道と黄道 - 昇交点と降交点

 月の移動を、恒星を基準にして天球上に記されていくのが白道という。太陽の年周運動の黄道と5度8分傾いている。

月は西から東へ毎日13.2度ずつ移動していく。約平均50.5分ずつ遅れて月が出てくる。

エッ西から昇るの、という人がいると思います。本当です、地球の回転が速いため東からあがって見えるのです。

29.5回転する間、月は1回しか公転しないからです(普段は東からと云ったほうが無難です、きちがい扱いされる。)。

月はほぼ1ヶ月2回、地球の軌道面(黄道)を横切る。

月が軌道面(黄道)を南側から北へ横切るのを昇交点、北側から南側へ横切るのを降交点という。

白道と黄道が交わっている公転は、月の公転の方向と逆向きに約18.6年の周期で東から西に動いている(地心視差)。

        

●恒星月と朔望月の違い

恒星月は、天球上で月が1周する真の周期。

朔望月は、例えば新月から地球を1周したとき、次の新月には太陽はすでに約2日分移動しているため、その2日分移動しなければならない。

 

●月の運動について

 下の左図は某氏が、丁寧に書き上げて送っていただいたものを、一部編集しそのまま掲載しているものです。右図は、一部をわかり易く拡大しています。

 月の運動(公転・自転)は、いろいろな文献を見ましたが、ほとんど地球を中心に円を描いたもの、または、S字型で表現されます。

 月が太陽の周りを回転することを指す場合には、単に「公転」といいます。

 月が地球の周りを回転することを指す場合には、「地球−月系の公転」といいます。

 

 

 

 

 水色の大きな円周が地球の公転軌道です(離心率などは無視しています)。水色の円の中心が太陽になります。その中心から水色の円周に向かって放射状に引かれた赤い線は約1日毎の地球の公転移動分を示します。約365.25日で1回転ですので、1日約1度移動するとしています(楕円軌道による公転速度の変化などは無視しています)。

 水色の円周と放射状の赤い線の交点を中心とする緑色の円が月の公転軌道とします。この緑の円は月までの距離約40万キロを水色の地球公転軌道の半径(1天文単位)に対して比率的にほぼ正しくなるよう描いています。

 緑の円周上を月(白点)が移動して行く点を辿ったものがオレンジ色の線になります。厳密に縮尺を合わせてあるわけではありませんが、ほぼこのような運動を行っていることを示す図表となっています。
 さらに詳しく離心率や公転速度の遅速などを加味して行きますと、月は決して同じ線上を通らないと言われるほど様々な変化をします。

 

 月−地球系の公転や月の自転は、月の起源に関わる大変重要な問題です。しかし、月がどのようにして形成されたのか、月の起源がまだはっきりとしていない現在、月-地球系の公転や自転の起源について、誰も詳細に答えることができないでいるのです。

 月の公転軌道はかなり不安定で、速さも厳密には一定ではありません。更に、月の赤道面はその軌道面(白道)に対し6.67°と、やや傾いて公転しています。

 月は朔望周期で揺れる感じ(秤動)に観測されます。このことを、月の光学秤動(幾何学的秤動)ないし、「首ふり運動」と言っています。また、コマの首振りのような運動のことを「歳差運動」とも言います。

 
 

次からは、私が当初月のS字型軌跡に疑問におもっていた部分です。

太陽を中心に見た場合、月はどのような軌跡を描くのか右図のように私なりの考えを述べていたのですが、見識のある方が、この問題について見事にわかりやすく指摘と説明をしていただき、疑問だった問題が解決したことをここにお礼申し上げます。

 

  

私は当初、右図及び図2−1のように、太陽から見た月の運動軌跡を「サイクロイド曲線」(正確には、トロコイド曲線の外トロコイドになりますが。注を参照下さい)に当てはめて考えていました。

 

しかし、実際の太陽から見た月の運動軌跡は「サイクロイド曲線」には、当てはまりませんでした。何故かというと、「地球の公転速度」と「月と地球の距離(公転半径)」が「サイクロイド曲線」の条件を満足しなかったからです。もし「サイクロイド曲線」の様な運動軌跡を描く為には、月の公転半径(月と地球間の距離)が現在の約27倍離れていなくてはなりませんでした。また、月と地球間の距離が現在の約27倍離れていて、且つ、月が現在の公転周期を維持する事は、天体力学的に有りえなかったのです(約27倍という数字は、地球及び月の軌道を真円と仮定した場合)。公転周期は、距離が長くなると遅くなります。実際の太陽から見た月の運動軌跡は、S字型で凹型(サイクロイド曲線型)にはなりませんでした。

 

 

注:トロコイド曲線の内、転がる円周上の定点が描く軌跡の場合を「サイクロイド曲線」という。また、円の円周上を転がる場合、円の外側を転がるものを「外トロコイド」、円の内側を転がるものを「内トロコイド」と呼ぶ。下記はトロコイド(サイクロイド)に関するサイトです。ご参考までに。

   
   

http://www.nikonet.or.jp/spring/mery/mery_1.htm

http://www.nikonet.or.jp/spring/V_curve/epitroc/epitroc.htm 

 

 

 

補足説明 1:
端的に云うと、月の運動軌跡が「サイクロイド曲線」を描く為には、月が地球を一周する間の地球の公転半径から月の軌道半径を引いたものを半径とする弧の長さが

月の軌道円周の長さに等しくなくてはいけない(図2を参照)。

式で書くと
 2×π×Mr = 2×π×(Er −Mr)×Mc/Ec

 Mr = 月の公転半径(月と地球間の距離)
 Er = 地球の公転半径(太陽と地球間の距離)
 Mc = 月の公転周期(月が地球を一周する間の日数)
 Ec = 地球の公転周期(地球が太陽を一周する間の日数)
 π:円周率(3.14・・・)
 ×:乗算(掛け算)
 /:除算(割り算)

 左辺 : 月が地球の周りを一周する間の月の移動距離(月の公転円周)
 右辺 : 月が地球の周りを一周する間の地球の公転半径から月の軌道半径を

引いたものを半径とする弧の長さ。
但し、上記の式は地球及び月の軌道を真円と仮定した場合。

実際に計算すると:
 Mr = 384,400km( 地球から月の平均距離 )
 Er = 149,600,000km( 地球と太陽間距離の平均 )
 Mc = 27.32days( 月の公転周期 )
 Ec = 365.26days( 地球の公転周期 )
 π = 3.14( 円周率 )
      左辺 ≒ 2,414,032km
      右辺 ≒ 70,089,418km

(≒:約 )になり、左辺と右辺の値が異なり、式が成り立たない。故に月の軌道軌跡はサイクロイドの軌跡を描かない。

  

   

ここで、月がサイクロイドの軌跡を描く為の月の軌道半径を求めると、(求める軌道半径を Mr' とする)

 2×π×Mr' = 2×π×(Er −Mr')×Mc/Ec ← サイクロイド軌跡の条件

 Mr' = Er×Mc/(Ec−Mc) ← となり、値を代入すると

 Mr' ≒ 10,410,800km   となる。

故に、サイクロイドの軌跡を描く為の月と地球の距離(月の軌道半径)は、実距離(地球からの平均距離)の約27倍遠方になくてはならない。
私が最初に描いたサイクロイドの軌跡の図に当てはめるとすると、中心(地球)と円周(月の軌道)の間を 1:26 にした位置に月を置くのが実際に

近い状態です。
但し、これはあくまでも軌道を真円と仮定し、且つ重力(引力)を無視したものです。

 

  

補足説明2 :

私が最初考察した問題点は、地球の公転速度(言い換えれば、新月から次の新月の間に、地球の動く長さ。または公転周期)を考慮していない点にありました。
図2−1の、新月から次の新月の間に、地球の動く長さ(実際は弧の長さ)が、月の公転円周の長さと等しいことになります。これが、凹型(サイクロイド)軌跡を描く条件です。

 
実際の月の公転円周の長さは、約2,414,032Kmです。処が、実際に新月から次の新月の間に地球の移動した長さは、約70,269,978Kmで、およそ8.4倍の長さになり、言い換えると地球の公転速度は、私が考えていた凹型(サイクロイド)軌跡を描く為の速度より、遥かに早いことを意味していました。
 
ここで、図2−1(空き缶とか車の車輪に印をつけてみた場合を縦にしてあります)において、月を『Ma』及び『Ms』の位置にした場合を考えます。
『Ma』の意味するところは、月の公転円周の長さよりも新月から次の新月の間に地球の移動した長さの方が遥かに長い(地球の公転速度が早い)ということです。
また、『Ms』の意味するところは、月の公転円周の長さよりも新月から次の新月の間に地球の移動した長さの方が短い(地球の公転速度が遅い)ということです。
 

図2−2は、月『Ms』、『Mo』及び『Ma』が描く各々の軌跡です。
青色線は『Mo』の軌跡で、月の公転円周の長さ≒新月から次の新月の間に地球の移動した長さの凹型(サイクロイド)。
赤色線は『Ms』の軌跡で、月の公転円周の長さ>新月から次の新月の間に地球の移動した長さのコイル型。

黄色線は『Ma』の軌跡で、月の公転円周の長さ<新月から次の新月の間に地球の移動した長さのS字型。

 

ここで、月と地球の間の距離は、新月及び満月を問わず、それぞれ一定です。緑色線は地球の軌道軌跡です。実際の月の軌道軌跡をこの図に当てはめると、地球の軌道にへばり付いたS字型になります。

以上の考察は、月と地球の軌道を真円と仮定し、且つ重力(引力)を無視したものです。
また、各図は誇張して描いています。理由として、地球から月の平均距離と地球と太陽間の平均距離との間には、約390倍もの差がある為です。

 

月と地球を太陽から見ると、月は地球より先に出たり後になったりしながら太陽を回っています。おもしろいですね。
 

 

 


この問題のご指摘とご解答をお寄せ頂いた 単なる天文好きの中年オヤジ様 に感謝いたします。

  

また、最初に解答していただいていた某氏の内容もよく見るとこの解答に至る過程があったことに感謝いたします。

  

その他、これに近い説明のある参考文献は、『おもしろい物理学(ペレリマン著)』にもありました。この著者は月に名前が付いています。

 

 

 

 

●秤動(ひょうどう:月の表面が59.4%見える理由)

 独楽がふらふらしながら回る首振り運動のように、月は地球に同じ面を向け、地球・太陽の影響(引力)を受けながら首振り運動を行っています。

  
月の運動を考えるときは、

(1)月は月自身に固定された軸のまわりに、一様な速さで自転する。その自転周期は、軌道上の公転周期に等しい。
(2)月の赤道と黄道とのなす角度(1°32′)は一定である。
(3)黄道の軸と白道の軸と月の自転軸はつねに、同一平面内にある。このため、月は地球に対して、少し首振運動をする。
  

この3つをカッシーニの法則という、このことを頭に入れ、

 月は地球に同じ面を見せながら、私たちから見ると若干上下左右に首振り運動を行っているように見える。

このことを秤動といい、これにより最大59.4%まで見ることができる。秤動には4つあり詳しく見ると、
 

    
 A. 
光学的秤動:視点の位置が変わるために起こる(幾何学的秤動ともいう)

  

@日周秤動

 月の出、月の入りを見るときの角度。月を観測するとき人は地表にいるから、地表から月が昇るときは月の東側が、沈むときは月の西側が多く見えその振幅は1°である。月が南中時は、地球の中心も地表も同じ方向を見ているので秤動はない。

  

  

  

  

  

  

A経度秤動

 月は完全な円運動であれば月の中心方向は常に同じ方向を向いているはずだが、楕円軌道を描いているため、公転速度は、近地点では速く、遠地点では遅く一定ではないが、自転速度は一定である。

  

  

  

B緯度秤動

 カッシーニの第三法則、月の赤道面と月の軌道面との傾角は、一定。白道と黄道との傾角5°8′。

 月の赤道と黄道との傾角は1°32′だから、月の赤道と白道との角は6°41′となり、これが秤動を起こす原因となっている。これだけでは、何が何だか解りにくいですね。つまり、太陽とは逆に月は夏は低く見え、冬は高く見えます。このことで月の緯度が変わって見えるのです。

  

これら3つが秤動の主な原因である。この3つはガリレオ・ガリレイが発見(1609年)したものである。

  

 B. 物理的秤動

 歳差や章動、極運動が加わり自転軸や自転速度もわずかだが変化して、上下左右に揺らされて起こる物理秤動に分けられるが、

この物理秤動は角度にして2′に満たない。
  

これらの秤動による、経度の最大秤動は 7°54′緯度の最大秤動は 6°50′である。

秤動を実感できるサイト→ URL :http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap991108.html

  

 アポロが月に行くまで、月は完全な球体ではなく三軸不等の楕円体で、地球方向に張り出していると考えられていた。

その理由は、この張り出している軸が光学的秤動のために、地球方向と完全に一致しないので、地球の引力が常に地球方向に向けようと、

月に自転速度の増減や首振り運動(秤動)を起こさせていると考えられていた。

 しかし、アポロ衛星船(15号)の観測から地球方向の軸は逆に地球と反対側が張り出し、表側は他の軸より短いことがわかった。

どうも、表側の海にあるマスコン(質量集中)の影響が大きいようである。

  

  

●季節による高度の変化

 

 月は季節の変化に伴って、常に位置を変えながら東から出てきます。右の図は月の高度と季節の変化で月の月齢をうまく表現している図です。

 新月と満月、上弦と下弦はそれぞれ相反し、満月は冬至の頃、一番高く昇り、新月は夏至のときに一番高く上ります。これらの変化は、地球の軸が23.5°傾いているため、月は昇るとき地平線の高さで見たとき、その位置は23.5°+約5°(黄道に対する白道の角度)の角度で変化し移動します。夏至に近い満月@〜冬至に近い満月Bの位置の変化はこうしておきます。

 太陽の位置が中心にないために、北半球では冬夏の寒暖の差は縮まり、南半球では大きくなる。右図では北半球についての季節を示してあり、南半球ではこれが逆になる。

●中心のずれによる満月の月齢の違い

 上図をよく見ていただくと分りますが、月は十五夜のとき太陽の位置が中心よりずれているため、新月から満月の月齢14.75になる前に十五夜(満月)が先に起こり満月が過ぎてから月齢14.75がやってくるのがお分かりいただけるとおもいます。

 これは、『けいさんしつ・月齢算出』で満月の時の月齢を照らし合わせてみてくださいはっきり解ります。

 

 

 

 

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