R^n のコンパクト集合 X 上の実数値連続関数 fに関する不等式 |f(x) - f(y)| ≦ Ｍ・|x - y| + ε について質問します．
先生の著書の読者のＴと申します．
次の命題の証明はどのように行えばよろしいのでしょうか．
命題： Ｘ を n 次元ユークリッド空間 R^n のコンパクト集合とし，
f を Ｘ から R への連続関数とする．
このとき，任意の正数 ε に対して，ある正数 Ｍ が存在して，Ｘ の任意の元 x, y に対して不等式
|f(x) - f(y)| ≦ Ｍ・|x - y| +ε
が成り立つ．
ご教授頂きたくお願い申しあげます．
Ｔさんからの再質問：
その後，自分でも考えたところ，以下の証明に到りました．
読み難い所が多々あるかと思いますが，この証明に間違いはないか，
これ以外にも証明方法があれば教えて頂きたいです．
Ｔさんの証明：
任意の ε＞0 に対し，集合
B :＝ {(|f(x) - f(y)| - ε)/|x-y| : x ≠ y, x, y ∈ X}
が上に有界であることを示せばよい．
いま，B が上に有界でないと仮定して，矛盾を導く．
このとき，X の点列 {x_n}, {y_n} で次をみたすものが存在する．
(1) x_n ≠ y_n かつ (|f(x_n)-f(y_n)| - ε)/|x_n - y_n| ---> ＋∞ (n ---> ∞)
いま f は連続だから，f(X) もコンパクト，特に有界だから，
{|f(x_n) - f(y_n)| - ε: n ∈ N} は有界となるので，(1) より次が成立しなくてはならない．
(2) |x_n - y_n| ---> 0 (n ---> ∞)．
X はコンパクトだから，{x_n} のある部分列は X の点 a に収束する．
そこで，{x_n} の代わりにその部分列を取れば，始めから x_n ---> a (n ---> ∞) としてよい．
このとき，(2) より，y_n ---> a (n ---> ∞) でもある．
f は点 a において連続であるから，ある δ ＞ 0 が存在して，次が成り立つ．
∀x ∈ X (|x - a| ＜ δ ならば |f(x) - f(a)| ＜ ε/3)．
この δ に対して，ある正の整数 m が存在して
n > m ⇒ x_n, y_n ∈ B(a, δ)
が成り立つ．したがって，
n ＞ m ⇒ |f(x_n) - f(y_n)| - ε ＜ |f(x_n) - f(a)| + |f(y_n) - f(a)| - ε ＜ -ε/3 ＜ 0．
よって，
n ＞ m ⇒ (|f(x_n) - f(y_n)| - ε)/|x_n - y_n| ＜ 0.
これは (1) に矛盾する．（証明終）
お答えします：
記号の使い方に関する次の点を除いて，完全に正しいと思います．
X が 1次元ユークリッド空間 R^1 のコンパクト集合の場合は，どこも直すところはありません．
2次元以上の場合は，ユークリッドの距離関数 d を用いて，|x - y| の代わりに d(x, y) と書くべきです．
|x_n-y_n| や |x - a| についても同様です．
証明を読んで，連続，収束，コンパクト性などの概念に対するＴさんの確実な理解を感じました．
自然な証明ですので，どの証明も似たものになるのではないかと思います．
Ｔさんの今後の勉強の発展を祈っています．
いま勉強している数学は就職後に役立つでしょうか？
私は，数学科の３年生で複素解析的微分方程式を学んでいます．
現在、就職活動中であり某化学メーカーを第一志望にしています．
微分方程式は時間がからむすべての自然現象を数式として表すことができ，解析的に解けない方程式もパソコンを用いることで近似解を求めることができると聞いています．
私の学んだ微分方程式の知識がモノの生産，加工をする上で活かせる機会があるのでしょうか？
このことを知りたくてメールをいたしました．
位相空間についての質問でない上に、就職をする上での質問をしてしまって申し訳ございません．
どうか回答お願いします．
お答えします：
いま勉強しておられる微分方程式の知識を就職希望の化学メーカーで生かす機会があるかどうか？というご質問ですが，私は微分方程式については全くの素人ですのでお答えできません．
少し一般的にお答えしたいと思います．
微分方程式は非常に応用の広い分野ですので，知識を生かすよい機会に恵まれるかも知れませんが，
一般的に言えば，大学で学んだ数学が就職した後に直接役立つということは非常にまれなことです．
しかし，直接役に立たなくても，Ｙ．Ｓ．さんが微分方程式の勉強をする過程で身に付けられた数学的な考え方は必ず役に立つと思います．
就職された後には，文系出身の人と議論をされる機会もあるはずです．
そのような場面で，まずそのことを実感されるのではないでしょうか．
私は文理共存の学部にいますので，いつも身にしみて感じています．
簡単ですが，お答えになったでしょうか．
「極小稠密集合を持つための必要十分条件は分散集合が稠密である」という結果は知られていますか？
次のようなことを聞かれたのですが，教えてください．
「Polish 空間（＝ 完備な可分距離空間）X において，X の稠密集合のうち極小なものが存在するための必要充分条件は，X の分散集合が X で稠密であることである」という結果は，知られているものでしょうか？
お答えします：
ご質問の命題ですが，Polish 空間だけでなく，一般の位相空間に対して成立します．
また，極小を最小に置き換えることも出来ます．
やさしい結果ですので，たぶん知られているのではないでしょうか．
念のため，位相空間 X に対する証明を書いておきます．
必要性： もし X の分散集合が稠密でないと仮定する．
このとき，X の完全集合は空でない内部 U を持つ．
X の任意の稠密集合 D に対し，D ∩ U の点 x をとると，U の完全性より，D - {x} も稠密である．
ゆえに極小な稠密集合は存在しない．
十分性：いま X の分散集合 S が X で稠密であると仮定して，
S の孤立点の集合を S_0 とする．
このとき，S_0 は S で稠密だから，仮定より S_0 は X でも稠密である．
また，S が X で稠密であることから，S の孤立点は X の孤立点でもある．
したがって，X の任意の稠密集合は S_0 を部分集合として含む．
ゆえに，S_0 は X の最小の稠密集合である．
写像の連続性が，f(cl A) ⊂ cl f(A) と同値であることの証明を教えて下さい．
位相空間の間の写像 f: X ---> Y は，開集合の逆像が開集合のとき連続写像ですが，
この定義と次の条件が同値であることの証明を教えて下さい．
任意の A ⊂ X に対して，f(cl A) ⊂ cl f(A)．
お願いします．
お答えします：
『解いてみよう位相空間』の問題9. 9（172ページ）をご覧下さい．
今後の勉強の参考にもなると思います．
図形 Z = {(x, y, z) : x^3 + y^3 + z^3 ≠ 0, x^3 + y^3 - z^3 ≠ 0} の連結成分に個数はいくつですか？
過去の大学院の入試問題ですが，(1) は下のように解けましたが，(2) が分かりません． 教えて頂けませんか．よろしくお願いします．
問題．ユークリッド空間 R^3 の部分空間
Z = {(x, y, z) : x^3 + y^3 + z^3 ≠ 0, x^3 + y^3 - z^3 ≠ 0} について，次に答えよ．
(1) Z は非連結であることを証明せよ．
(2) Z の連結成分の個数を求めよ．
(1) の解答：実数値関数 f : Z ---> R を
f((x, y, z)) = (x^3 + y^3 + z^3)(x^3 + y^3 - z^3) によって定義すると，f は連続．
このとき，Z の定義より，f(Z) ⊆ (-∞, 0)∪(0, +∞)．
また，f((1, 1, 1)) ＞ 0, f((1, 1, 2)) ＜ 0 だから，
f(Z) ∩ (0, +∞) ≠ φ かつ f(Z) ∩ (-∞, 0) ≠ φ．
ゆえに，f(Z) は2つの開集合 (0, +∞), (-∞, 0) によって分離されるので非連結．
連結空間の連続像は連結だから，f(Z) が非連結であることより Z も非連結である．
お答えします：
Ｔ．Ｋ．さんの (1) の解答はパーフェクトだと思います．
(2) の解答：R^3 における Z の補集合を考えると，
R^3 - Z = A ∪ B，ただし，
A = {(x, y, z) : x^3 + y^3 + z^3 = 0}, B = {(x, y, z) : x^3 + y^3 - z^3 = 0}．
集合 A, B はそれぞれ，2変数関数
f((x, y)) = (-x^3 - y^3)^{1/3}, g((x, y)) = (x^3 + y^3)^{1/3}
のグラフとして，
A = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ R^2}, B = {(x, y, g(x, y)) : (x, y) ∈ R^2}，
と表されるから，A, B は曲面である．
曲面 A, B の交わりを求めるために
(-x^3 - y^3)^{1/3} = (x^3 + y^3)^{1/3}
とおくと，x + y = 0．
このとき，z = 0 だから，曲面 A, B は xy-平面上の直線 {(x, y, 0) : x + y = 0} で交わる．
すなわち，Z は曲面 A, B によって４つの部分に分割されている．
ゆえに，Z の連結成分の個数は 4 個．
曲面 A, B の図をパソコンのグラフソフトで描いてみるとよく分かると思います．
いかがでしょうか．
さまざまな連続性の定義は同値ではないのですか？
はじめまして．Ｓ といいます．
大学で学ぶような数学について系統だって学校で学んだことはないのですが，以下の疑問があります．
さまざまな連続性の定義がありますが，それらが同値ではないのではないかという疑念が湧き，
奥歯にものが挟まったような状態で，眠れそうにありません．
どうか大至急助けてください．よろしくお願いいたします．
関数の極限を用いた連続性の定義，距離を使ったε近傍による連続性の定義と，開集合を用いた連続性の定義との間の関係についてお尋ねします．次のように定義される関数 f を考えます．
f(x) = -1 (x ≦ 0)
f(x) = 1 (x > 0)
このとき，関数の極限を用いた連続性の定義や，距離を使ったε近傍による連続性の定義では，f は連続関数とはなりませんが，位相として密着位相を考えた場合，開集合を用いた連続性の定義では，f は連続関数となってしまいます．
ということは，関数の極限を用いた連続性の定義，距離を使ったε近傍による連続性の定義と，開集合を用いた連続性の定義とは，同値ではないということになります．
開集合を用いた連続性の定義は，連続性の定義としては不完全な印象を持つのですが，どうなんでしょうか？私の理解がおかしいのでしょうか？
お答えします：
とても大切な質問だと思います．連続性の次の３つの定義は同値です．
(1) 関数の極限を用いた定義，
(2) ε-近傍による定義，
(3) 開集合を用いた定義．
では，どこに Ｓ さんの誤解があるのでしょう．
大事なことは，写像 f: X ---> Y の連続性は，定義域 X と終域 Y の位相（＝位相構造）に依存して決まるという事実です．
(1) 関数の極限を用いた定義や (2) ε-近傍による定義を用いる場合には，定義域 X と終域 Y にはそれぞれ距離が定めれています．そこで，X に定められている距離関数を d_x，Y に定められている距離関数を d_y とします．次に，距離関数 d_x から導かれる X 上の距離位相を T_x ，距離関数 d_y から導かれる Y 上の距離位相を T_y とします．
ここが大切なところですが，(1) や (2) の定義が定める f の連続性は，位相空間 (X, T_x) から位相空間 (Y, T_y) への写像 f の連続性だということです．
すなわち，写像
f: (X, T_x) ---> (Y, T_y)
の連続性です．
したがって，(3) の開集合を用いた定義は，正確には次のように述べる必要があります．
(3) 位相空間 (Y, T_y) の任意の開集合 U の逆像 f^{-1}(U) は位相空間 (X, T_x) の開集合である．
このとき，３つの定義 (1), (2), (3) は同値になります．
写像 f: (X, T_x) ---> (Y, T_y) が連続であっても，
もし T_x や T_y を他の位相構造に変えると，f は連続でなくなる可能性があります．
逆に，写像 f: (X, T_x) ---> (Y, T_y) が連続でなくても，もし T_x や T_y を他の位相構造に変えると，f が連続になる可能性もあります．
なぜなら，写像 f: X ---> Y の連続性は，定義域 X と終域 Y の位相（＝位相構造）に依存して決まる概念だからです．
ご質問の中の関数 f は，Ｓ さんが書かれた通り，(1) 関数の極限を用いた定義や (2) 距離を使った定義では連続でありません．このとき，(1), (2) と同値になる (3) 開集合を用いた定義は，上に書いた距離位相に関する開集合を用いた定義 (3) です．Ｓ さんの場合は，距離位相を（勝手に）密着位相に変えたために f が連続になってしまいました． 上で説明したように，これは不思議なことではありません．
連続性について詳しくは，『はじめよう位相空間』 の第７章１節（89-94ページ）と第10章２節（130-133ページ）を参考にして下さい．
以上でお答えになったでしょうか．
Ｓ さんの理解が深まることを祈っています．
ユークリッド平面 R^2 のストーン・チェックのコンパクト化の剰余は連結ですか?
ユークリッド平面 R^2 の Stone-Cech コンパクト化の剰余は連結ですか．教えて下さい．
お答えします：
完全正則空間 X の Stone-Cech コンパクト化 bX に対し，
bX の部分空間 bX - X を Stone-Cech コンパクト化の剰余と呼びます．
ユークリッド平面 R^2 の Stone-Cech のコンパクト化の剰余
b(R^2) - R^2 は連結です．
以下，その証明を与えます．
背理法で証明する．
いま，X = b(R^2) - R^2 が非連結であると仮定すると，
X は２つの空でない閉集合 F_0 と F_1 に分割される．
R^2 の局所コンパクト性より，X は b(R^2) の閉集合だから，
F_0 と F_1 は b(R^2) の互いに交わらない閉集合．
したがって，連続関数 f: b(R^2) ---> [0, 1] で，
f[F_0] = {0}, f[F_1] = {1}
を満たすものが存在する．いま，
V_0 = { x ∈ b(R^2) : f(x) ＜ 1/2 },
V_1 = { x ∈ b(R^2) : f(x) ＞ 1/2 },
K = { x ∈ b(R^2) : f(x) = 1/2 }
とおくと，X ⊂ F_0 ∪ F_1 ⊂ V_0 ∪ V_1 だから，K ⊂ R^2.
すなわち，K は R^2 のコンパクト集合だから，原点を中心とする十分大きい半径の ball B に含まれる．このとき，R^2 の互いに交わらない空でない開集合
V_0 ∩ R^2 と V_1 ∩ R^2
は R^2 - B を分割する．
これは，R^2 - B の連結性に矛盾する．
ゆえに，X は連結．
『はじめよう位相空間』定理 3.23 (37ページ)：
この定理について，私は勘違いしているでしょうか？
『はじめよう位相空間』で勉強しています．
定理 3.23 について質問がありまして，メールしました．
定理 3.23. 写像 f: X ---> Y と g: Y ---> X が与えられ，g o f = id_X と f o g = id_Y が成り立つとする．このとき，f は全単射で g = f^{-1} が成り立つ．
X = Y = [0, 1] として，f: X ---> Y と g: Y ---> X を次のように定めます．
f(x) = x/2,
g(y) = 2y
このとき，g o f = id_X と f o g = id_Y が成り立ちますが，写像 f は Y への全射ではないと思います．
どこかで私が勘違いしているのでしょうか？
お答えします：
写像 g に問題があります．
定理 3.23 は，写像 f: X --> Y と g: Y --> X に関する定理です．
ところが，X = Y = [0,1] とした場合，E．O．さんの写像 g は，Y から X への写像になっていません．
なぜなら，y > 1/2 のとき，f(y) = 2y が X = [0,1] の要素でないからです．
以上で回答になったでしょうか．
具体例に当てはめながら定理の証明を考えることは，とても大切だと思います．
この姿勢で勉強を続けられることを応援しています．
全射 f: X --> Y が存在するとき，|X| ≧ |Y| が成立することは，どのように証明すればよいでしょうか．
幾何学は論証が多く，定理をどのように用いて進めていけば良いか分からず悩んでいます． 仕方ありませんので，いろいろな参考書の証明を真似して勉強を進めている次第です． 知り合いに聞きますと，論証に慣れるには時間が必要だと言われました． 例えば，次のような問題があったとき，何を言えば証明されたことになるのでしょうか．
問題． 集合 X から集合 Y への全射が存在するとき，|X| ≧ |Y| が成り立つことを証明せよ．
お答えします：
数学の問題を考える際にまず必要なことは，その問題に出てくる用語や記号の意味（＝定義）を 正しく理解することだと思います．
上の問題で言えば，最初に不等式 |X|≧|Y| の意味を確かめる必要があります．
たぶん多くのテキストでは，
「集合 Y から X への単射が存在するとき，|X|≧|Y| と定める」
と定義されているのではないでしょうか．
このことから，上の問題に答えるためには，次の命題を証明すればよいことが分かります．
命題． 集合 X から集合 Y への全射が存在するとき，Y から X への単射が存在する．
次に，この命題を証明するためには，2つの用語「全射」と「単射」の意味を理解していることが必要になります． まずそこから始められてはどうでしょうか．
なお，多くの集合論の入門書には，この命題は定理として証明されています．
たとえば，
『はじめての集合と位相』，p.79 命題6.30 参照．
いろいろな参考書の証明を真似して勉強することは一番よい方法だと思います．
多くの参考書を見てみると，１つの数学的事実がいろいろな方法で説明されていることが分かります．
その中に自分にあった説明が見つかるのではないでしょうか．
Ｈ．Ｗ．さんの勉強が進むことを祈っています．
不動点性を持つ図形（位相空間）を全て決定すると，どのようになるのでしょうか？
医学類１年のＨＡと申します．
ブラウアーの不動点定理では球が不動点性を持つということでした．
そこで，不動点性を持つ図形（位相空間）を全て決定するとなると，どのようなものになるのでしょうか？
よろしくお願いします．
お答えします：
任意の連続写像 f: X ---> X に対して，f の不動点（すなわち，f(x) = x をみたす点）が存在するとき，
位相空間 X は不動点性 (fixed point property) を持つという．
n 次元球体や偶数次元の射影平面，局所凸線形位相空間のコンパクト凸集合などは
不動点性を持つことが知られています．
私の守備範囲を外れますので，その道の専門家に尋ねてみましたところ，
不動点性を持つ図形（＝ユークリッド空間の部分空間）や位相空間を決定する定理は，
現在のところ存在しないということでした．
平面 R^2 の場合でさえ，平面を分離しない連続体は不動点性を持つか（Borsuk の問題）などの
未解決問題が残っているそうです．
不動点定理については多くの研究がなされていますので，参考書を３冊紹介しておきます．
[1] 中岡稔著 『不動点定理とその周辺』 岩波書店．
[2] 岩波 『数学辞典第４版』 日本数学会編集，岩波書店．
[3] K. P. Hart, J. Nagata and J. E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier 2004.
[3] の項目 h-07 に不動点定理に関する解説があり，多くの参考文献が紹介されています．
この解説を書かれたのはＨＡさんの大学の先生です．
やさしい先生ですので，もし数学的な疑問があれば相談にのって頂けるのではないでしょうか．