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今までに寄せられた質問の中から，重複しないものを紹介しています。
貴重なご質問に感謝します！
写像・関数とその連続性に関する質問
ユークリッド空間・実数・集合に関する質問
位相空間と距離空間に関する質問
『はじめての集合と位相』の内容に関する質問
『はじめよう位相空間』の内容に関する質問
勉強の方法と目的に関する質問
専門的な質問
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写像・関数とその連続性に関する質問：
連続全射写像が閉写像になるための条件について教えて下さい．
誘導位相をもつ位相空間 Y への全射連続写像が閉写像にならない例を教えて下さい．
位相群の表現の定義に関する写像の連続性について教えて下さい．
命題「局所同相写像 => 連続開写像」の逆は正しいでしょうか．
平面の部分集合から直線への（中心）射影の連続性はどのように示せばよいでしょうか．
直積空間からの射影の稠密部分空間への制限は開写像でしょうか．
連結開集合から離散空間への連続写像について疑問があります．
合成写像 h o g と h が局所同相写像のとき，g も局所同相写像でしょうか．
有理数を無理数にうつし，無理数を有理数にうつす連続関数は存在しますか．
ノルム空間からその商空間への線形連続関数のノルムが 1 になることを証明しようとしています．
Hausdorff 空間からの既約な開写像は位相同型写像ですか．
『解いてみよう位相空間』問題3.5：連続性を示すために平均値の定理を使ってよいのですか．
開近傍の逆像が開近傍であることは，点における写像の連続性を特徴付けるでしょうか．
連続写像の定義には，なぜ開集合の「逆像」をつかうのですか？
位相空間の間の写像に「一様連続性」を定義していますが自信がありません．
R^n のコンパクト集合 X 上の実数値連続関数 f に関する不等式 |f(x) - f(y)| ≦ Ｍ・|x - y| + ε について質問します．
写像の連続性が，f(cl A) ⊂ cl f(A) と同値であることの証明を教えて下さい．
さまざまな連続性の定義は同値ではないのですか？
全射 f: X --> Y が存在するとき，|X| ≧ |Y| が成立することは，どのように証明すればよいでしょうか．
写像 f: X ---> (Y,
S
) が与えられたとき，
T
= {f^{-1}(U) : U ∈
S
} が X 上の位相であることを教えて下さい．
全射 f: X --> (Y,
S
) に対し，
T
= {f^-1(U) : U ∈
S
} が X の位相構造であることを教えて下さい．
2つの一様連続関数 f, g の和 f+g と積 fg の一様連続性について教えて下さい．
一般の位相空間上の写像 f について，x --> a のときの f(x) の極限を定義してみました．
全射 f: X --> Y が導く同値関係〜について，|X/〜| = |Y| が成立する理由を教えて下さい．
写像
R
^2 -->
R
; (x, y) --> x が連続開写像である理由を教えて下さい．
変換
p
= k
q
+ l
a
が円を円にうつす理由を教えて下さい．
実数値連続関数の円周上での最大値・最小値の求め方について質問があります．
区間 [a, b] 上の関数 f とその逆関数 f^{-1} のグラフが直線 y = x に関して対称である理由を教えて下さい．
写像による集合の逆像はつねに存在するのですか？
単調増加関数の逆関数の連続性について教えて下さい．
区分的に連続な関数の具体的な例を教えて下さい．
連続性と「グラフがつながっている」のイメージの一致は，定義域が R であることによるのでしょうか？
高次元空間での回転は，どの様な写像によって与えられるのですか？
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ユークリッド空間・実数・集合に関する質問：
X = [0,2) の部分集合 A = [0,1) の外部はなぜ [1, 2) でなく開区間 (1, 2) なのですか．
Zorn の補題の証明について教えて下さい．
複素平面上で集合 D_r = {z ∊ D : d(z; ∂D) > r} が開集合である理由を教えて下さい．
2つの実数空間
R
の対称積は平面
R^2
と位相同型でしょうか． また，複素平面
C
の場合はどうでしょうか．
Zorn の補題の証明について教えて下さい．
ユークリッド空間
E^n
の開集合と位相同型であるが，
E^n
の部分空間でない例を教えて下さい．
「含まれる」の意味について教えて下さい．
部分空間の開核について，答えはこれで正しいでしょうか．
集合 A_n = {x∈
R
: |x| > n} の共通部分について質問いたします．
商位相と商集合（同値類・直和分割）との関連がわかりません．
用語「切片」は非整列集合に対しても使われますか？
Cantor 集合の完全集合は Cantor 集合と位相同型ですか？
解析学の手段としての無理数の存在に思えてくるのです・・・？
R
^n と
R
^n+r が位相同型であることは，どのように示せばよいでしょうか？
自由群の濃度について教えて下さい．
図形 {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 = 1} ∪ {(x, 0) ∈ R^2 : 1 ≦ x ≦ 2} は閉区間と位相同型ですか？
空間 R^2 - {(0, 0)} の商位相空間の連結性とコンパクト性について教えて下さい．
図形 Z = {(x, y, z) : x^3 + y^3 + z^3 ≠ 0, x^3 + y^3 - z^3 ≠ 0} の連結成分の個数はいくつですか？
不等式 s + t > a と (∃m ∈
R
)(s > m かつ t > a - m) が同値であることを教えて下さい？
集合 [a, b)×[c, d) は
R
^2 の開集合ですか？また，Sorgenfrey 平面の 開集合ですか？
平面
R
^2 の閉集合を連続関数の逆像として表す方法を教えて下さい．
平面
R
^2 の次の集合は閉集合ですか？コンパクトですか？
{a_n} がコーシー列ならば，{a_n+1/3^n} もコーシー列であることの証明の進め方を教えて下さい．
デデキンドの切断について教えて下さい．
半開区間が開集合でも閉集合でもないことは，どのように示しますか？
集合 A_n = {(x.y): y > x^2n} が図示できません。また平面上で和集合を考えることもよくわかりません．
集合 B = {(x, y): x - y > 0} は平面上のどこを表しているのですか？
任意の異なる２つの無理数の間に有理数が存在することを証明してみたのですが？
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位相空間と距離空間に関する質問：
弧状連結空間の2点を結ぶ弧は位相同型写像にとることができますか．
位相同型かどうかを判定するアルゴリズムは存在するでしょうか．
距離化可能空間の部分空間に関する質問です．
距離空間の連結性と ε 鎖についての質問です．
ハウスドルフ空間における集積点について教えて下さい．
N 次直交群の位相について教えて下さい．
距離空間の非連結集合が全体空間の交わらない開集合で分離できることの証明を教えて下さい．
球面の裏どうしを貼り合わせると射影平面ができると思うのですが．
直積位相または箱位相をもつ直積空間の開集合について教えて下さい．
なぜ逆極限や帰納的極限を極限とよぶのですか？
一般の位相空間に対して，微分にあたる概念を定義することはできますか？
点列の収束を使う証明の中で，ε の代わりに 1/n を使うのはなぜでしょうか．
「集積点 ∪ 孤立点 = 極限点」という理解は正しいでしょうか．
自然数や整数の空間の完備性について教えて下さい．
疎な閉集合族が与えられたとき．閉包が高々1個のその要素としか交わらないような開集合からなる開被覆のとりたいのですが，どうとればよいでしょうか．
距離空間の完備化と有理数体の完備化，どちらが先に生まれたのですか？
コンパクト集合の間の距離 (Hausdorff metric) について教えて下さい．
閉集合である同値関係で，自然な写像が閉写像にならない例を教えて下さい．
『解いてみよう位相空間』，問題 10.16 の解答について教えてください．
Sorgenfrey 平面の部分集合 {(x, y) : x + y = 1} 上の相対位相について教えて下さい．
距離空間の開集合系は距離空間の唯一の位相構造ですか．
境界点と集積点の関係について教えて下さい．
距離空間の開集合の境界は離散集合の集積点の集合であることの証明について， ヒントを下さい．
孤立点を持たない距離空間 X における離散部分空間の閉包は X で nowhere dense である． この命題の証明について，解決のヒントを下さい．
集合 ∪{{1/n} : n∈
N
} の閉包に関する質問です．
距離関数 d_1, d_2, d_∞ に関する開集合が，それぞれ，互いの開球の和として表されるとは，どういう意味ですか．
距離空間において，全体集合と空集合は開かつ閉集合でしょうか．
距離空間において，全体集合と空集合が閉集合であることの証明について教えて下さい．
連結成分の具体例を示して下さい．
導集合の導集合の包含関係が縮小して行くとは，どういう意味ですか？
連結性と局所連結性の違いについて教えて下さい．
R
の部分空間
Z
は離散位相空間ですが，離散距離空間ではありません． どこが間違っているのでしょうか？
商空間
R/Z
は，距離空間とはならないのでしょうか？
閉区間上の実階段関数全体がつくる位相空間というのは存在するのでしょうか．
「通常の位相」とはどのような位相を指すのでしょうか．
直積位相と箱位相の定義の違いは何なのでしょうか？
開基の定義は，位相が定められていることが前提でしょうか？
位相の族を含む最小の位相の存在と，それに含まれる最大の位相の存在について教えて下さい．
連結性の定義について教えて下さい．
円筒の単体分割を考える際，円筒と同相な正方形を考えますが・・・？
位相空間では，なぜ「開集合」を用いるのですか？
不動点性を持つ図形（位相空間）を全て決定すると，どのようになるのでしょうか？
Sorgenfrey 直線 S の部分集合 A に対して，等式 cl(A) = S - i(S - A) は成り立ちますか？
Sorgenfrey 直線と Michael 直線の部分集合の内部と閉包の求め方について教えて下さい．
集合 X = {1, 2, 3} 上の位相の中で，正則，正規，T_1 であるものについて教えて下さい．
d_p(x, y) = Σ |x_i - y_i|^{1/p} は
R
^n 上の距離関数でしょうか？
離散距離空間が完備であることの証明を教えて下さい．
一般の距離空間でべき級数や微分の議論をすることは可能でしょうか？
実数全体
R
に空集合と
R
と有限集合を閉集合とする位相を定めるとき，
Z
が稠密であることを教えて下さい．
n 次直交群の連結成分について教えて下さい．
教えて下さい．３点からなる集合上の位相を列挙せよ．
開集合 A に対し，A ∩ Cl(B) ⊆ Cl(A ∩ B) が成り立つ理由を教えて下さい．
全有界性が一様位相的性質であるが位相的性質ではない理由を教えて下さい．
Int(Cl A) ≠ Cl(Int A) である集合 A ⊂
R
^2 はどんな集合ですか？
距離空間 (C([a, b]), d_∞) が完備であることの証明を教えて下さい．
完備で点列コンパクトでなければ，無限大に発散する点列が存在しますか？ ＜続き＞
点列コンパクトでなければ，発散する点列が存在しますか？
実数全体 R の co-finite 位相に関する性質について教えて下さい．＜続き＞
実数全体 R の co-finite 位相に関する性質について教えて下さい．
2つの開集合の共通部分と和集合がまた開集合であることの証明を教えて下さい．
可分空間とは何を分けるのですか？ 可分空間の目的は何ですか？
x=(x_1,...,x_2006)∈S ⇔Π_{i=1}^{2006}x_i=2006 で定義される集合 S のコンパクト性を証明したいのですが．
n 次直交行列全体の集合がコンパクト，非連結であることの証明を教えて下さい．
第2可算公理をみたす空間の部分空間が第2可算公理をみたすことを証明が分かりません．
和集合 A∪B の境界が A の境界と B の境界の和集合に含まれることを証明したいのですが．
位相空間 (X, T) と位相構造 T の濃度の関係はどのようになっているのですか？
空間の部分集合とはどのような意味でしょうか？
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『はじめての集合と位相』の内容に関する質問：
第1章，演習問題 2 について教えて下さい．
第1章，演習問題 3, 4 について教えて下さい．
第1章，演習問題 16 について教えて下さい．
第3章，演習問題 4 と 11 について教えて下さい．
第3章，演習問題7について教えてください．
第3章，演習問題15について教えて下さい．
第4章，２項関係の定義 4.1 について質問があります．
第5章，命題5.13の証明，整数 a のとり方について教えて下さい．
第6章，集合全体のクラス
V
が集合でないことを担保するのは正則性公理でしょうか．
第6章，Bernstein-Schroder の定理 6.23 の証明について教えて下さい．
第6章，Bernstein-Schroder の定理 6.23 について教えて下さい．
第6章，問7の解答の最後の式は誤植ではないでしょうか．
第7章，定理7.18 (Tukey の補題) の証明について教えて下さい．
第7章，定理7.18（Tukey の補題）の証明について教えて下さい．
第7章，定理7.18 (Tukey の補題) の証明について教えて下さい．
第7章，定理7.18の証明に関する問6の解答について教えて下さい．
第7章，整列可能定理 7.30 の証明に関する問10 の解答について教えて下さい．
第8章「記号 d_2 の2は，2乗の和の平方根を取る定義を表している」 とありますが，意味がわかりません．
第8章，演習問題10, 11について教えて下さい．
第9章，補題9.2の証明に疑問点があります．
第10章，定理10.29の証明中の等式 U(X, x, ε) = U(Y, x, ε) ∩ X がうまく理解できません．
第11章，例11.6の位相空間 (S, T_1) の閉集合はこれで正しいでしょうか．
第11章，註 11.17 の主張「Cl A - A^d は A の孤立点の集合である」について教えて下さい．
第13章，問7の解答について教えて下さい．
第13章，問題16が解けなく，苦しんでおります．
第14章，点列 {x_n} の部分列は，{x_k(i)} より {x_k(n)} ではないでしょうか．
第14章，演習問題 2 について，ヒント等頂けたらと思います．
演習問題の解答 (略解でもいい) を公開していただけませんか．
第15章，定義15.1の
A
^ の定義中で「
B
は有限」とあるのは，
B
は有限集合という意味ですね ?
第15章，例15.2 の集合族
A
^ と
A
v
がなぜそのような集合になるのかわかりません．
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『はじめよう位相空間』の内容に関する質問：
第1章，問4：Why the letters "X" and "Y" are topologically equivalent?
第1章，定理1.3の証明に気になる点があるのですが．つづき．
第1章，定理1.3の証明に気になる点があるのですが．
第2章，図 2.2：なぜ A から A' になるのか分かりません．
第2章：2.4 の有限集合の定義には曖昧さがあるのではないでしょうか．
第3章，問1：この問の解答（191 ページ）について教えて下さい．
定理 3.23：この定理について，私は勘違いしているでしょうか？
第3章，演習問題 3 - 4：この問題の考え方を教えて下さい．
演習問題 3 - 5：アニュラスの変形についてヒントを下さい．
演習問題 3 - 16：３次関数が全単射であるための必要十分条件は，この考え方でよいでしょうか？
例題 4.8：関数の連続性に関する例題 4.8 (54ページ) について教えて下さい．
第4章，問6についての質問です．
第4章，定義4.10：リプシッツ定数の定義について質問があります．
第4章，問8 の解答について教えて下さい．
演習問題 4 - 5 (1)：この問題について教えて下さい．
演習問題 4 - 6 (1)：この問題について教えて下さい．
演習問題 4 - 9：解答はこれで正しいでしょうか．
第5章，図5.1 の写像 f: H ---> S^1 の逆写像が不連続である理由を教えて下さい．
例 5.3：1次関数の逆関数の求め方を教えて下さい．
例 5.7：逆写像の数式はどのように導くのですか．
例 5.7：数式 (5.1) はどのように導くのですか？
例題 5.16：f^{-1} の終域を E^2 に変える理由を教えて下さい．
演習問題 5 - 5：逆写像の求め方を教えて下さい．
演習問題 5 - 7：２次元球面から１点を取り除いた図形と
E
^2 が位相同型であることの証明を教えて下さい．
演習問題 5 - 8：２次元開球体と
E
^2 が位相同型であることの証明を教えて下さい．
演習問題 5 - 10：
E
^2 への写像の連続性はどのような方針で考えればよいでしょうか？
演習問題 5 - 19：「鏡映が距離を保存しない」とは，どういう意味ですか？
例 6.9：なぜ b-a をかけるのですか．なぜ距離に定積分が関係するのですか？．
第6章，例6.9 の証明について教えて下さい．
第6章，演習問題8の解き方が正しいかどうか，ヒントを下さい．
例題 7.18：写像 pr_{ij} がリプシッツ写像である理由を教えて下さい．
第７章，演習問題２の解き方のヒントを下さい．
演習問題 7 - 8：全射連続写像 f:
Q
→
Z
の例を教えて下さい．
演習問題 7 - 11：無理数で連続，有理数で不連続な関数の例を教えて下さい．
定理 8.15：部分空間の開集合について教えて下さい．
演習問題 8 - 1：集合の境界を求める問題について教えて下さい．
定理 9.1 の条件 (2) だけを証明する方法を教えて下さい．
例題 9.7 の数式について教えて下さい．
第10章，例10.7：べき集合がなぜ位相構造であるのかがわかりません．
第10章，問4：位相空間 (S, T_2) の閉集合がよく分かりません．
例10.12：位相空間 (S, T_1) の開集合は，なぜ φ, {b}, {a,b}, {b,c}, S の５つなのでしょうか？
第10章，演習問題 10 - 8 (4) の証明の書き方を教えて下さい．
例 11.4：開区間がコンパクトでない理由について教えて下さい．
定理11.11：コンパクト空間の閉集合がコンパクトであることの証明はこれでよいでしょうか？
第11章，定理11.11の証明について，質問 #01024 と同様な疑問があります．
定理 11.12 の証明について教えて下さい．
演習問題 11 - 7：ハウスドルフ空間の２つのコンパクト集合の共通部分がコンパクトであることの 証明は，これでよいでしょうか？
例題 12.22：
E
^2 - {p} はなぜ連結ですか？
演習問題 12 - 7：連結集合の和集合に関する問題のヒントを下さい．
演習問題 12 - 8：連結性の問題のヒントを下さい．
演習問題 12 - 9：連結性の問題のヒントを下さい．
演習問題 12 -11：２次元球面 S^2 の連結性を証明するヒントを下さい．
演習問題 12 - 12：
E
^1-{0} と
E
^1-{0,1} が位相同型でないことを証明するヒントを下さい．
演習問題 12 - 15：解決のヒントをお願いします．
演習問題 12 - 20：半開区間 H = [0,1) について，不動点を持たない連続写像 f: H --> H の例を見つけるヒントを下さい．
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勉強の方法と目的に関する質問：
明後日，テストです．
まったくわかりません．
他大学の先生のセミナーに参加させてもらうことは可能でしょうか．
数学が嫌いになりました．
背景的な知識を独習するには，どうすればよいですか．
『はじめよう位相空間』の続編の予定はあるでしょうか．
現代の位相空間論の研究目的がよくわかりません．
『はじめよう位相空間』の演習問題の略解をいただけないでしょうか．
『はじめての集合と位相』を勉強し終えました。『はじめよう位相空間』も読む必要があるでしょうか？
意味不明な質問？
学部数学は暗記ですか？
来週がテストですが，演習問題の答えが分かりません．
いま勉強している数学は就職後に役立つでしょうか？
数学は才能でしょうか？
定義は分かるのですが，問題が解けません．
位相の科目の勉強の仕方は，どのようなやり方がおすすめでしょうか？
『はじめよう位相空間』の章末の演習問題の解答は他の参考書等に掲載されていないのですか？
第７章の演習問題がほとんど分からないのですが，どうすれば解けるでしょうか？
位相空間は、社会的に何か役に立つことがあるのですか？
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専門的な質問：
連結コンパクト集合で結べない2点をもつ連結空間の例を教えて下さい．
Dyadic 空間 の tightness と weight が等しいことの証明を教えて下さい．
命題「実コンパクト位相群の濃度は可測でない」は正しいでしょうか．
共終数 (cofinality) ついて教えて下さい．
Dieudonne 完備空間の2つの定義の同値性について教えて下さい．
Jones の定理の証明を教えていただけると有り難いのですが．
命題「可算 extent をもつパラコンパクト空間はリンデレーフである」の証明を教えていただけませんか．
共終数 (cofinality) ついて教えて下さい．
無限個の閉区間の直積空間のコンパクト性と点列コンパクト性について教えて下さい．
距離空間の可算帰納的極限は距離化可能でしょうか．
"No non-discrete subspace of βN is a sequential space” の証明について教えて下さい．
局所弧状連結距離空間の任意の開被覆は，弧状連結開集合からなる局所有限細分を持つでしょうか．
順序数空間の直積空間 (ω_0+1) × (ω_1+1) × (ω_2+1) ×・・・ について教えて下さい．
ゼロ集合をゼロ集合に移す写像について，知られていることがあるでしょうか？
Tychonoff 空間 X から Hausdorff 空間 Y の上への開連続写像が与えられたとき，X の可算近傍基底を持つ点の像は Y のゼロ集合でしょうか？
擬コンパクト Hausdorff 空間において，可算個の開集合の共通部分として表される点は可算近傍基底を持つでしょうか？
順序体 (
R
^
N
)/I_p が第１可算公理を満たさないことの証明を教えて下さい．
離散空間の非可算無限積は０次元ですか？
Sorgenfrey 平面
S
^2 の2つの領域 y ≧ 0 と x + y ≧ 0 は互いに位相同型ですか？
「極小稠密集合を持つための必要十分条件は分散集合が稠密である」という結果は知られていますか？
ユークリッド平面
R
^2 のストーン・チェックのコンパクト化の剰余は連結ですか?
完備距離空間の閉集合の減少列 {F_n} の共通部分が１点のとき，F_n の直径は 0 に収束しますか？
有限次元ノルム空間はユークリッド空間に等距離ですか？
同相なコンパクト化は同値なコンパクト化ですか？
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